火曜日に生まれた男の子の話

Twitterで見かけた問題

先日、こんな問題を見かけました ([1], 元ツイートは2010年)。

“子どもが二人いる。（少なくとも）一人は男で火曜日に生まれた。二人とも男である確率は？（「火曜日に」を聞かなかった場合の確率も求めてください）”

条件つき確率の問題でして、個人的にはいい問題だなーと感じました。

で、率直にいうと答えは

  • 「火曜日に」という情報を聞かなかった場合は 1/3
  • 「火曜日に」という情報を聞いた場合は 13/27 (=0.48148…)

です。

図を見て3秒で理解する

ところが、とくに13/27という数字は、仮に条件つき確率の定義を知識として知っていたとしても、全く自明でない印象を受けてしまいます。
13とか27とかマジで？という感じ。

実際に計算して確認しようとすると3分くらいかかるのですが、願わくばもっと短時間で、何が起きているのか理解したいです。3秒くらいで。

というわけで、3秒で理解するための図を作りました。こちらです。

図では、AさんとBさんの性別と誕生日の曜日をタテヨコに並べてあります。2人分の性別と誕生日の組み合わせなので、14 * 14 = 196マスあります。
今、「一方は火曜日に生まれた男である」という情報を聞いたので、そうでないマスを黒く塗りつぶすと27マスだけ残ります。その中で、二人とも男であるのは赤く塗った13マスなので、13/27という数字が出てきます。

補足1: もっとレアな情報を聞いた場合

「AさんかBさんは男」ではなくて、「Aさんは男」という情報を聞いた場合に、2人とも男である確率は1/2です。どちらかを名指しして性別を聞くと、2人とも男であるかどうかは名指ししていないほうの性別で決まるためです。

ここで、性別のほかの追加情報が「生まれた曜日」ではなくて、もっとレアな情報を教えてもらえる場合を考えます。

例えば、1年366日に均等に子どもが生まれるとして、「片方が1月1日生まれの男」という情報を聞いたとします。すると、2人とも男である確率は731/1463です。731/1463=0.499658…なので、ほとんど1/2に近い値です。

つまり、追加情報としてレアな情報を聞くと、1/2に限りなく近くなると言えます。

もうちょっと極端にするとわかりやすいです。
「2人の人間がいて、少なくとも一方は内閣総理大臣経験者で男である」とか言われた場合、2人とも男である確率はだいたい1/2な気がします。なぜなら、総理大臣などという激レア人材が含まれているという情報はほとんど特定の人物を名指ししているようなもので、2人とも男かどうかは残りの一方の（おそらく総理大臣ではない）人の性別で決まる気がします。

補足2: 定義どおりの計算

上の問題の表現だと何を計算すべきかはっきりしない可能性もあります。なので、一応もう少し厳密な感じにリフレーズしておきます：

2人の子供A, Bがいるとして、性別がわからないとする。次の情報が与えられたとき、AもBも男であるという事象の条件つき確率を求めよ。

  • AとBの少なくとも一方は男である。
  • AとBの少なくとも一方は火曜日に生まれた男である。
    ただし、この世界では男の子は1/2の確率で生まれてくるとし、子供は全ての曜日において等確率で生まれてくるものとする。

条件つき確率を定義どおりに書くと、
$$
\Pr(2人とも男 \mid 火曜日に生まれた男がいる) = \frac{\Pr(2人とも男で、火曜日に生まれた男がいる)}{\Pr(火曜日に生まれた男がいる)}
$$
なのであって、
$$
\begin{align}
& \Pr(火曜日に生まれた男がいる) \\
= & \Pr(Aが火曜日に生まれた男) + \Pr(Bが火曜日に生まれた男) -\Pr(AもBも火曜日に生まれた男) \\
= & \frac{1}{14} + \frac{1}{14} - \frac{1}{14^2}
= \frac{27}{196}
\end{align}
$$
かつ
$$
\begin{align}
& \Pr(2人とも男で、かつ火曜日に生まれた男がいる)\\
= &\Pr(Aが火曜日に生まれた男で、Bは男) + \Pr(Aが男で、Bは火曜日に生まれた男)\\
& - \Pr(AもBも火曜日に生まれた男) \\
= & \frac{1}{14} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{14} - \frac{1}{14^2}
= \frac{13}{196}
\end{align}
$$
であるから、求めたい条件つき確率は確かに
$$
\frac{13/196}{27/196} = \frac{13}{27}
$$
となっています。

[1] @h_okumura先生のツイート